Mi problema
Ya que últimamente escribo muy de tarde en tarde, voy a redimirme un poquito colgando un post bastante enjundioso. Trata de cómo ha sido el camino hacia la resolución de un problema de Matemáticas que me ha tenido interesado durante mucho tiempo. Hay bastantes tecnicismos, pero podéis saltároslos sin problema. Creo que esta historia (que para mí es una buena historia, vive Dios!) resume más o menos bien lo que es la investigación, o al menos tal y como la entiendo yo: una empresa que implica un gran esfuerzo individual y solitario, pero en la cual la colaboración y la ayuda de otras personas resulta imprescindible; una aventura con sus subidas y bajadas, sus momentos de euforia desbordante y los agujeros de desesperación y depresión, días, meses y años hermosos y duros, travesías del desierto, momentos inolvidables y situaciones límite, felicidad, cabreo, emoción, aprendizaje, tristeza, esperanza… y sobre todo, mucha intensidad. Tal como entiendo yo la vida. Ahí vamos:
1. Primavera de 2002. Me doy cuenta del interés de la BZ/p-celularización de BG, G siempre finito y p primo. En un principio, supongo que el problema debe resolverse de modo similar a al análogo para el caso de espacios de Moore M(Z/p,1). Pronto me doy cuenta de que la cosa no va a ser, en absoluto, tan sencilla, sobre todo después de cruzar con Jérôme un mail alusivo. En cualquier caso, aprendo las técnicas básicas, particularmente para espacios de Moore.
2. Otoño de 2002. Comienzo a trabajar en serio en el problema. En Septiembre y Octubre, Fernando y yo intentamos describir la cofibra de la aplicación de Chachólski, o al menos sus primeros grupos de homotopía, utilizando el enfoque de Brown-Loday y módulos cruzados, con bastante éxito en el caso del grupo fundamental. Tras esto, comienzo a identificar con precisión las diferencias con el caso de celularizar respecto a espacios de dimensión finita, diferencias que se hallan en grupos de obstrucción clásica. Creo resolver el problema varias veces, aunque por poco tiempo, pues mi aproximación sigue siendo bastante tosca. Intento utilizar teoría de Lannes y Miller, sin resultado. Al menos, averiguo que la celularización es un problema de grupos generados por elementos de orden p, relaciono celularización a nivel de espacios con celularización a nivel de grupos y describo la celularización de clasificadores de p-grupos, quizá mi mejor resultado de estos meses.
3. Invierno-Primavera de 2003. En esta época, que paso principalmente en París, comienzo la escritura de la tesis. Sigo pensando en el problema, y aún hay algún momento en que creo haberlo resuelto (utilizando la descomposición inestable de Bousfield de espacios de p-torsión), pero me voy dando cuenta de que me faltan ingredientes. En cualquier caso, salen algunas cositas cuando los grupos son perfectos, como la celularización de algunos alternados y la relación con extensiones centrales universales.
4. Otoño de 2002-Invierno de 2003. Periodo final de escritura de la tesis, en que el problema está aparentemente abandonado por primera vez. Envío a Transactions mi primer artículo, donde aparecen todos los resultados mencionados hasta ahora. Es aceptado tras revisión.
5. Primavera de 2004. Tras leer mi tesis en su condición de miembro suplente del tribunal, a Jérôme se le ocurre que sin mucho esfuerzo podemos demostrar un teorema de dicotomía tipo Serre para CWBG. Esto me da moral y retomamos el problema juntos. Estudiamos algunos ejemplos concretos, como grupos simétricos de rango bajo para p=2, algún alternado más, y otro ejemplo que nos proporciona Jacques Thévenaz. Vamos comprendiendo poco a poco el papel del Sylow de G en nuestro problema, el del p-socle del Sylow y la relación con la celularización del completado de BG. Nuestro objetivo en este momento es encontrar el ejemplo de un grupo tal que la celularización de su espacio clasificador tenga infinitos grupos de homotopía con p-torsión, pues en los otros casos ya sabemos lo que ocurre.
6. Otoño de 2004. Seguimos buscando el ejemplo. Usando la sucesión de cofibra asociada al teorema de Chachólski, obtenemos condiciones necesarias muy precisas que debe cumplir nuestro ejemplo potencial y, justo es decirlo, a veces pensamos que no puede existir. La solución nos la proporciona Bob Oliver, que nos muestra dos familias de grupos simples finitos para p=2 que cumplen nuestras restricciones y que resultan ser ejemplos para lo que buscamos. Poco después, Antonio Viruel encuentra también una familia de ejemplos en p impar. Desmenuzamos los ejemplos, y construimos representaciones de sus espacios clasificadores en BU(n) que se anulan al precomponer con BZ/p.
7. Invierno de 2004. Bastante entusiasmados, escribimos nuestros resultados y los enviamos a Math. Z. Se abre un compás de espera mientras recibimos la respuesta.
8. Primavera de 2005. Nos llega la contestación de la revista: el artículo ha sido rechazado. El referee argumenta que ni los teoremas ni los ejemplos presentados poseen enjundia suficiente, aunque nos dice que sí que sería interesante conocer con más precisión quién es CWBG. Nos sienta bastante mal, la verdad, sobre todo porque pensamos que, de acuerdo con lo que nos dice, al editor sí le ha gustado nuestro artículo. Carlos Broto, que a la sazón se halla en Suiza en esta época, se interesa fuertemente por nuestros resultados, y en dos semanas de muchos mails interioriza el problema y lanza una de sus famosas ideas: la BZ/p-anulación de la cofibra, en el caso p-completo y con el normalizador del Sylow controlando fusión, será la p-compleción del clasificador del cociente del normalizador del Sylow por el mínimo subgrupo strongly closed ClS (también llamado A en lo que sigue) que contenga a todos los elementos de orden p de G. Nosotros habíamos reparado ya en la importancia de ClS en este contexto, pero no habíamos imaginado una explicación tan directa. Tras escribir detalladamente la prueba, la idea resulta ser correcta, y nos proporciona una fórmula explícita para la celularización en este caso. Reescribimos el artículo y lo mandamos al Journal de la London.
9. Otoño de 2005. Mi desplazamiento a Madrid hace imposible, como antaño, el trabajo codo con codo con Jérôme, quien se encuentra interesado en la celularización de |L|, siendo este el clasificador (sin completar) de un grupo p-local finito. Nos contestan de la revista pidiendo modificaciones del artículo, pero con un informe muy favorable. Más adelante es aceptado. Ninguno de los dos tenemos ninguna idea para abordar el caso restante, cuando el grupo está generado por elementos de orden p y el normalizador del Sylow no controla fusión, y ni siquiera tenemos idea de cómo serán los grupos para los que esto pase; sólo cosas generales, como que no puede ser simple para p=2.
10. Invierno-Primavera de 2006. Hemos abandonado el problema por segunda vez. Sólo de vez en cuando pienso en la celularización de |L|, pero la condición de que el grupo fundamental esté generado por elementos de orden es un muro insalvable. Leo con atención los artículos de Broto-Castellana-Grodal-Levi-Oliver sobre extensiones, sin avance notable. Al final del curso aparece un preprint de Oliver-Ventura que identifica extensiones más generales, pero tampoco me resulta útil.
11. Verano de 2006. Estando en Sevilla, en casa de la hermana de Rosa, pienso por primera vez que la celularización de BG^p puede ser la fibra de una aplicación de BG^p al cociente del clasificador de un linking system, en el sentido de Oliver-Ventura. Compruebo que el sistema de fusión cociente es exactamente el que debe ser, y supongo que con el linking system debe ocurrir igual. La solución resulta muy interesante, porque los linking systems aparecen de modo natural. A partir de entonces, tengo que encontrar un ejemplo de este último caso.
12. Otoño de 2006. Me lanzo a buscar por todas partes grupos generados por elementos de orden p tales que el normalizador del Sylow no controle fusión, y que tengan un subgrupo strongly closed. Me concentro en p impar y grupos simples, que cumplen trivialmente la primera condición. En Octubre miro un mundo de bibliografía, sin resultado aparente. En el informe del referee que nos rechazó se hablaba de un artículo de un tal Foote, que clasificaba, para p=2, grupos con un subgrupo strongly closed propio, y que utilizamos para calcular en este caso las celularizaciones de clasificadores de grupos simples, Le escribo a este hombre, que me contesta con enorme amabilidad y extensión; aunque no me resuelve el problema, me da los nombres de varios gurús del tema. Escribo así algunos mails con mi pregunta concreta, y tras algún tiempo de espera, George Glauberman me proporciona el ejemplo deseado. A partir de entonces inicio un fluido intercambio de mails con Foote, que me muestra cómo generalizar el ejemplo de Glauberman, un wreath product, a bastantes familias de extensiones.
13. Invierno de 2007. Dada su aportación, decido ofrecer a Foote la coautoría del futuro artículo, que él acepta. Por esta época me doy cuenta de que el paso clave en mi prueba del último caso, que es levantar el morfismo entre sistemas de fusión F-->F/A, siendo F el del grupo que buscamos, a una aplicación |L|^p-->|L/A|^p no es trivial, como yo pensaba. Tras leer detenidamente el artículo de Oliver-Ventura y algunos correos con el primero, consigo entender perfectamente qué es L/A, pero sigo sin poder dar la aplicación. A partir de entonces comienza un via crucis de unos dos meses, que tiene, en forma de ideas que finalmente resultan ser fallidas, las siguientes estaciones:
- Intentar probar que se producía la extensión correcta con cohomología de categorías, o sea, que (L/A)*c p-completado era el objeto buscado. Me empollé para ello la referencia básica, un artículo de Baues-nosequién. No hubo manera de identificar la clase.
- Intentar dar una aplicación de la descomposición cohomológica del grupo a la descomposición cohomológica del normalizador, teniendo en cuenta la fusión interior en A, o la descomposición cohomológica del normalizador módulo A. Un intenso cruce de mails con Broto, que duró dos semanas, acabó convenciéndome de que no había manera de probar que los correspondientes grupos de obstrucción desaparecían.
- Intentar usar la teoría de Lannes para dar la aplicación a nivel de cohomología módulo p, e intentar luego levantarla, o bien usarla directamente a ese nivel. Surgieron dificultades técnicas insalvables, además de que me faltaban referencias a mano.
- Intentar usar ideas de Goldschmidt y el hecho de que el normalizador controla fusión por encima del subgrupo A (resultado que fue perfectamente probado por Richard Foote, y que tiene interés por sí mismo), pero esto tampoco nos permitía invertir la aplicación deseada.
- Intentar dar una morfismo “de fusión” del sistema de fusión del grupo al sistema de fusión del normalizador (quizá módulo A). La condición de que el normalizador no controlase fusión resultaba ser prohibitiva.
Cuando atacaba ya la desesperación, llegó la solución del modo más inesperado. Releyendo la vieja clasificación de Richard para p=2, caí en la cuenta de que una cierta “parte” del grupo A no era realmente relevante a la hora de calcular la celularización, y que en el resto sí que el normalizador controlaba fusión y, por tanto, se podía resolver. Esto cerraba absolutamente el problema para p=2. Cuando le participé a Richard la buena nueva, él se mostró convencido de que podría realizarse una clasificación similar para p impar. Al cabo de unas semanas, tanto la demostración como la clasificación estaban concluidas. Sólo había un problema, un caso concreto en que el cociente podía ser G_2(q) y que el normalizador no controlara fusión. Richard no sabía si esto podría existir o no.
14. Primavera 2007. Llegamos a la conclusión de que estas extensiones indeseadas y no escindibles con base G_2(q) existen. Esto me preocupa sobremanera unos días, hasta que me doy cuenta de que lo importante no es que el normalizador del Sylow en G_2(q) controle fusión, sino que lo haga el normalizador del strongly closed correspondiente, que es más grande. Y eso es lo que ocurre en este caso postrero, con lo cual podemos decir que la carrera de cinco años ha llegado a su fin. En cuanto acabemos de escribir los ejemplos que usaremos para ilustrar nuestro teorema (ahora ya nos sobran, porque sabemos BZ/p-celularizar BG para TOOODOS los grupos finitos) se habrá terminado la historia. Y me parecerá imposible, y lo celebraré como nunca.
Gracias a los doctores Broto, Foote, Glauberman, Muro, Oliver, Scherer, Thévenaz y Viruel, sin los cuales este post no hubiera podido ser escrito.
10 comentarios
blancohumano -
Ayer, entre penalty y penalty estuve repasando tu problema y me ha dado cuenta que al levantar el morfismo entre sistemas de fusión te has comido un signo.
Quillo repasalo que si no vas a hacer el ridículo.
De nada
ernesto -
Alberto -
Ahora que tienes esto resuelto ya te puedes centrar en lo de encestar la tiza.
No, en serio, enhorabuena.
Cluje -
Gracias por las enhorabonas.
Alberto -
blancohumano -
cletus awrightus varesitus -
Palimp -
En segundo lugar esto es más interesante que una película de chinos -y parece escrito en el mismo idioma-.
Un abrazo.
Cluje -
Lola -
1. Cómo se olvidan las mates si las dejas... puf...
2. Ese invierno del 2007 se me antoja un poco adelantado :P
Pues hale, a ver si lo acabais y te quitarás un muerto de encima con forma de hijo recién nacido!